三角関数の公式

三角関数の公式は多い

加法定理と二倍角の公式までは許せる。

三倍角、半角、その他いっぱい

いいかげんにしろ！！

入試の際には面倒な公式一覧表をおまけにつけてほしいっす。

ただ、こんなの覚えていなくても東大の受験には影響ないような気がします（赤本を検討した限り）が・・・

コメント 2

こんにちは。とおりすがりです。

sin(nθ)、cos(nθ)、tan(nθ)を一般式として求めるには
複素数の範囲で考えると見通しがよくなります。

以下、a^bは、aのb乗のこととします。

ド・モアブルの公式
(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)...[01]
θに-θをあてはめて、
(cos(-θ)+isin(-θ))^n=cos(n・(-θ))+isin(n・(-θ))
=cos(-nθ)+isin(-nθ)...[02]
cos(-θ)=cosθ,cos(-nθ)=cos(nθ),
sin(-θ)=-sinθ,sin(-nθ)=-sin(nθ)だから、[02]にあてはめると、
(cosθ-isinθ)^n=cos(nθ)-isin(nθ)...[03]

([01]+[03])/2で、
{(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2=cos(nθ)
([01]-[03])/2で、
{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2=isin(nθ)

整理して、
cos(nθ)={(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2...[A]
sin(nθ)=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2...[B]

tan(nθ)=sin(nθ)/cos(nθ)
=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/{(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}
=-i[{cosθ(1+itanθ)}^n-{cosθ(1-itanθ)}^n]/[{cosθ(1+itanθ)}^n+{cosθ(1-itanθ)}^n]
=-i{(cosθ)^n(1+itanθ)^n-(cosθ)^n(1-itanθ)^n}/{(cosθ)^n(1+itanθ)^n+(cosθ)^n(1-itanθ)^n}
=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}
（※cosθ≠0とする）

整理して、

tan(nθ)=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}...[C]

sin,cos,tanの
倍角、３倍角、４倍角、５倍角、６倍角、７倍角、８倍角、...
と[A],[B],[C]式だけですべて兼用できます。


※但し、半角の公式、1/3角の公式などは導けません。
そこが難点ですが。
あと、積和の公式は個々に覚えるしかないのかなと思います。

では。
by CEGIPO (2009-04-11 00:37) 

ＣＥＧＩＰＯさん、アドバイス誠にありがとうございます。
長い式を書いていただいて恐縮です。
ただ、複素数の計算なので、私には理解できないかも・・・・
by 降龍十八掌 (2009-04-11 15:45)