数学の難問

先週の木曜から数学の難問にぶち当たっている。

こういうのってはやり病をもらったようで、解けるまでは落ち着かないんだよね。

できれば自力で解きたいのだが、いい加減もういやになると、同じ問題を本屋で探すのでが、これがなかなか見つからないものです。

今回の問題はラサール高校の入試問題で三平方の定理の難問。高校受験教科書のシリウス発展編（中学３年用）の巻末のハイレベル問題研究の中の一題。

３４００円の古典的名著『わかる幾何学』（こいつが優れものなんですわ。大概の難問はここからバグっているんだよね）を当たると、元になったであろう問題が巻末にあるのだが、ヒントだけで解答・解説がない。

ヒントに『ｐ２４４と同じ』とか『ＳＴはＡと一直線』とか書いてあるが何のこっちゃ。で、その問題を読んでみると、さらにこれは『ｐ１４４と同じ』となり、さらにまた読まなきゃならない始末。

やれやれだぜ。だが、・・・・・それでも、それがどう役立つのかぜーんぜーん解んない。

フッ　この俺をここまで手こずらせるとは！

やるな、ラサール。

結局、昨日は一日中（半日以上の昼寝はしたが）紙に図を書いて考えっぱなし。だが、解けず。

今朝は勇躍、赤馬ならぬ自転車に飛び乗り（帰りは坂で息切れする）、チュア、チュアの掛け声をかけずに、本屋に行って中学ハイレベル問題集など２，３冊当たったが、まるで役立たず。

しょうがないので、先ほど帰りの電車のなかでようやく解きました。

このうれしさといったら、どんなご馳走よりおいしい！！

こういうとき、さっと検索できるサイトがないかなぁ～。

知っている人いたら、ぜひお教えください。

コメント 24

ここにUPすれば、解きますよ～～
by ノリネコ (2005-10-04 11:25) 

ノリネコさん、ありがとうございます。
数学質問箱『葦の木』に投稿したけど、いつも答えもらえません。今回も未だに無視されています。
by 降龍十八章 (2005-10-04 15:31) 

「考える葦」という質問箱を検索しましたが、１８さんは何と言うネームでUPしているのですか？
「考える葦」という質問箱は、凄い勢いで、回答がUPされていますね～～
by ノリネコ (2005-10-05 07:01) 

ノリネコさん、ナイスありがとうございます。
おととい書いたコメントがなぜか消えていますね。
申し訳ありません。
by 降龍十八章 (2005-10-05 09:25) 

あれれ、また回復してますね。今朝は調子が悪くて非表示だったのでしょうか？
ネームはｍａｓａ（マサ）で日曜（１０/3）のお昼ごろです。三平方の難題というタイトルです。
実は解けたと思ったやり方は、間違いで、昨日も一度自力で解きました。
by 降龍十八章 (2005-10-05 23:17) 

拝見しました。
私は、以下のように解きました。
大きい方の円の半径をR、小さい方をｒとします。
CR=R＝（√２+1）ｒだから、ｒ＝（√2-1）R

AD＝√2R
AT=AC+CT＝R+ｒ＝R+（√2-1）R＝√2R＝AD

です～～
by ノリネコ (2005-10-06 08:33) 

ノリネコ先生ありがとうございます。
ただ説明不足だったかもしれませんが、垂線ＣＤは直径ＡＢ上の任意の線なので（中心上の垂線とは限らない）ので常にＣＲ＝Ｒではなく、よって√２が常に成り立つわけではないと思うのですが・・・・・
by 降龍十八章 (2005-10-06 12:26) 

うわ～～
やり直します～～
by ノリネコ (2005-10-06 13:47) 

申し訳ありません。図をアップさせたいのですが、エクセルを電子メール形式で保存すれば貼り付けられるはずなんですが。。。
by 降龍十八章 (2005-10-06 14:41) 

はじめまして。
自分も問題を見て解答を考えてみました

（証明）
大円、小円の中心をO、P、それらの半径をそれぞれR,rとし、
線分OPと小円の交点をQとおく。
まず小円は大円に内接しているのでO,P,Rは一直線上にあり、
　　　OQ＝R-2r　　　　となることがわかる
ここで小円に対して方べきの定理を用いると
　　　　OT＾２＝OQ×OR＝（R-2r）×R＝R＾２－２ｒR　・・・①　となる
さて以下では特にCがOの右側（AよりBに近いほう）にあるものとして論じる
三平方の定理などから
　　AD^2 = AC^2 + CD^2
　　　　　 = （AO+OC）^2 + (OD^2-OC^2)　　（⊿ODCで三平方の定理）
= AO^2 + 2AO×OC + OD^2　　　　　
= AO~2 + 2AO×(OT-ｒ) + R^2　　　（OC=OT-CT=OT-SP=OT-r）
= AO^2 + 2AO×OT + (R~2-2rAO)　　
= AO^2 + 2AO×OT + OT^2　　（①より）
= AT^2
よって　AD =　AT
CがOの左側にある場合も上と同様にAD=ATを示せる。
（OC=AO-AC=r-OTとすればよい）
したがっていずれの場合も　AD=AT　　　　（証明終）

・・・どうでしょう？
by Sunadori (2005-10-07 06:37) 

Ｓｕｎａｄｏｒｉさん、大変ありがとうございます。
お見事です。
確かに、ＯＱＰＲは一直線ですね。ひねくれものなので、本当に一直線になるのかなぁなんて考えてしまいます。
小円・大円の共通の接線ですから、中心に向かって垂直だからということですね。
これで、２通りの証明（角度と長さの両面から）ができたので、今日はじっくり解説してきまーす。
でも、この問題って定理として覚えておくものなのでしょうか（中学生が）？ラサール恐るべしです。
by 降龍十八章 (2005-10-07 09:24) 

その問題は、どんなのですかぁ？？良かったら、図とか載せてもらえませんか？？
by ゆり (2005-11-27 17:18) 

ゆりさん、コメントありがとうございます。
図形をワードでかいて、ＨＭＴＬで保存すればブログに載せられるはずなんですが・・・
いまいち、うまくいかないんです。
やってみます。
by 降龍十八章 (2005-11-27 21:12) 

ありがとうございます！！ぜひぜひよろしくお願いしますぅ☆★分かりそうになくても解いてみるのは、おもしろいですよねっ♪
by ゆり (2005-11-28 17:11) 

ゆりさん、ソネット外の方ですね？ブログのアドレスを教えていただけたら遊びに参ります。
by 降龍十八章 (2005-11-29 00:07) 

ゆりさん、お待たせしました。
なんとかつくりましたので、最新記事をごらんください。
by 降龍十八章 (2005-11-29 00:51) 

ありがとぉございます♪♪頑張って考えてみますねぇ！で、分からないときは質問に来ます☆解けた時にもちゃんと報告します！
by ゆり (2005-11-29 16:04) 

謎の美女ゆりさん、あなたはいったい何者？
もしかして、ノリネコさんのお弟子さんですか？
by 降龍十八章 (2005-11-29 18:48) 

いや、弟子じゃないですぅ！！ここは、一般の人はだめなんですかね？！
by ゆり (2005-11-30 16:43) 

ゆりさん、失礼しました。
めったにない訪問者なので（人気のないブログなので）、気になっただけですよ。
by 降龍十八章 (2005-12-01 10:04) 

人気無いことありませんよぉ！！すごく楽しいお話ばかりで。。。他のもたくさん読ませてもらいました！で、１番気になったこのお話のところに書き込ませていただきました☆
by ゆり (2005-12-01 16:30) 

おそれいります。
by 降龍十八章 (2005-12-02 07:21) 

高校シリウスとチャート式どっちがいい
by きむきむ (2006-03-16 13:24) 

きむきむさん、こんばんは。
高校シリウスは中身を見たことないので、わかりません。チャートは色別にありますが、赤は止めた方が無難でしょう。最近思うのですが、教科書の節や章の末問題を全部マスターするのがとてもいいと思います。参考書はやるというより、つまみ食いするという感じで見るがいいと思います。
by 降龍十八章 (2006-03-17 00:15)