意外な難問 [数学]
中３のキーワーク（教科書準拠問題集）から
意外な難問にタジタジ。
問題
３５、４５，５５の二乗を計算して、上二桁、下二桁の法則性を予想しなさい。
解答
下二桁がゼーンブ２５になるのはすぐにわかると思います。
でも！上二桁はどう表現すればよいのだろうか？
因みに１５×１５＝２２５（へへ、暗記しているぜ）
２５×２５＝６２５（うー、インドの小学生なら３０×３０まで暗記しているのに！）
３５×３５＝１２２５
４５×４５＝２０２５
５５×５５＝３０２５
６５×６５＝４２２５
なので『２』『６』『１２』『２０』『３０』『４２』とういかんじ。（ただし、最初の二つは上一桁。だって全部で３桁しかないからね。）
さあ、あなたはこの数列をなんと解く！！
a2+aでしょう
予測だけで証明は不要？
by てつろう (2005-10-07 17:16)
中学生レベルだったら、十の位をnとして、上二桁の数字はn(n+1)＝n2+n だけでいいんでしょうね。
証明が必要となると、高校レベルですよね。
数列『２』『６』『１２』『２０』『３０』『４２』をa(n)とおくと、
a(1)=2, a(2)=a(1)+2*2, a(3)=a(2)+2*3, a(4)=a(3)+2*4,・・・, a(n)=a(n-1)+2*n
つまり、a(n)=a(1)+2*2+2*3+2*4+・・・+2*n (nは２以上の自然数）
n
=a(1)+2Σ k
k=2
=2+2{n(n+1)/2-1}
よって、a(n)=2+n(n+1)-2=n(n+1) これはn=1の時も成り立つ。
・・・という感じ？ 久しぶりに数列なんて解きました(;-・。・-;)
by ゆーじあむ (2005-10-07 18:23)
公立中学の問題なので、もとの十の位の数字（ｎ）×（ｎ＋１）と言う答えでした。確かに数列なら、てつろうさんの答えの通りｎの二乗＋２ですね。
みなさん、頭がやわらかいですねぇ～。
因みに私はわかりませんでした。（というのも、うちの弟子が５５の二乗を２９２５と計算したからです！）
by 降龍十八章 (2005-10-08 11:15)
ええと、証明は単純に ’２は二乗のこと
（１０ｎ＋５）’２＝１００ｎ’２＋１００ｎ＋２５＝１００ｎ（ｎ＋１）＋２５で
確かに下２ケタは２５で、上２ケタはｎ（ｎ＋１）になります。ちょうど１００をかけるので必ず上２ケタの数になるわけですね。
by 降龍十八章 (2005-10-08 11:22)
なるほど。単純に元の数字をｎで表して、二乗すればいいんだ。
ためになりました。
by ゆーじあむ (2005-10-09 09:42)