直線と円の式 [数学]
数学Ⅱの直線と方程式
微分積分、数列とくらべて何回やっても覚えにくいのがこの分野。
小ばかにしていると痛い目にあう。よく、教科書レベルの基本問題という言い方をされるが、教科書の節末、章末の問題って
けっこう難しい！！
問い１ ３ＸーＹ＋７＝０ Ｘ－２Ｙ－４Ｋ＝０ Ｘ＋ＹーＫ＝０
の三直線が一点で交差する時、Ｋの値を求めよ。
うーん、Ｋが二つもある！Ｋが一つなら連立を立てれば簡単だと思うんだけど・・・
そういえば、ニ直線の交点を通る直線の公式
ａＸ＋ｂＸ＋ｃ＋ｋ（ｄＸ＋ｅＹ＋ｆ）＝０もなんてのもあったな・・・
とかいろいろ考え出すと大変。
問い２ Ｘ２乗＋Ｙ２乗＝２０の円に直線２Ｘ＋Ｙ＝１０ と垂直な直線が接するとき、その直線の式を求めよ。
うーん、円の接線の公式もあったが、それがある直線と垂直ということは傾きを掛けた時ー１になるのだろうが、具体的にはどうやって解こうか？
おそらく、答えは二本でてくるだろうとは思うが・・・
とにかく、こんな感じで教科書の問題は決して簡単ではない。チャートなどの参考書や受験問題とはちょっと感覚が違うんだよね。
きっと、基本ができていないだからなんだろうけど。（というか実力がない。）
チャートとかやる前に、教科書を完璧に覚えるべきではないか？
もちろん、チョコチョコいろんな教材をつまみ食いすることはいいことなのだが・・・
一応解答してみましょうかねぇ。（そういう意図で書いてる記事じゃない？？）
一問目のポイントは、3っの直線が1点で交わる→その点では3つの式が
成り立つ。つまり、3つの未知数に3つの式で連立方程式を解くとそれが答え。
3X-Y+7=0…(1)、X-2Y-4K=0…(2)、X+Y-K=0…(3) とすると、
(1)より Y=3X+7、これを(2)、(3)に代入して、
X-2(3X+7)-4K=0、X+(3X+7)-K=0 → -5X-14-4K=0…(4)、4X+7-K=0…(5)
(4)×4-(5)×5から、 -21-21K=0 ∴ K= -1
（ちなみにX=-2、Y=1）
とりあえず、一問目です。直線の絵を書いて、Ｋの値が変わるとどうなって
いくかイメージしながら学ぶのがいいんでしょうね。
by でか (2006-03-21 05:56)
デカさん、こんにちは。
公式を学んだ後に、ただの連立方程式でとく問題といのも釈然としません。つい、何かうまい方法があるのでは？とかんぐりたくなります。
もちろん、ｋ＝－１で正解です。
by 降龍十八章 (2006-03-22 00:06)
この問題、どちらも関数・方程式として学んだことを、グラフ上の図形と
合わせてどう使うかということを意図している問題です。
だから、問題１は計算としては連立方程式を解くことになりますが、
重要なのは、これが３つの直線をあらわしていて、それが１点で交わるという
条件が、数式上どういうことなのかを知ることにあります。
というわけで、二問目。こちらは計算はもとより、なぜそれが答えになるのか
グラフなしに説明するので、ちと分かり難いかもしれません。
X＾2+Y^2=20…円(1)、2X+Y=10…直線(2) として、
直線(2)は、式を Y=-2X+10 と変形して直線の傾きが「-2」、記事内でも
書かれているように、これに直行するのだから傾きが「+1/2」になる。
これを直線(3) Y=1/2 X+K とします。（Y切片をKとする傾き1/2の直線）
円(1)と直線(3)との交点を考えます。交点とは円(1)、直線(3)の両方の
式を満たすX,Yであらわされる点ということになります。そして、そのX,Yは
当然Kがどういう値になるかで変わってきます。大きく分けると３種類、
「交点が二つ」、「交点がひとつ（接線）」、「交点がない（交わらない）」。
また、（記事本文中にも書かれているように）接線は二つですから「交点が
ひとつ」になる直線も二つ→Kの値も二つだろうと予想できます。
そこで計算です。交点では円(1)、直線(3)の両方の式が成り立つから、
直線(3)の式を円(1)に代入して、
X^2 + (1/2X + K)^2 = 20 → 5/4X＾2 + K*X + (K＾2-20) = 0 …式(4)
これはXについての方程式の形になっています。方程式ととらえると、
定数KによってXの解は「解が二つ」、「解がひとつ」、「解なし」
の3つのパターンに分かれます。…！！お気づきでしょうか？
つまりこれがさっき書いた交点の数のパターンを表しているわけです。
というわけで、直線(3)が円(1)の接線になる→交点がひとつ ということは、
5/4X＾2 + K*X + (K＾2-20) = 0 …式(4)
というXに関する方程式の解が、ひとつ(重複解)になることと、同じ意味。
2次方程式で学んだ判別式で、解がひとつになるのは
方程式 aX＾2 + ｂX + ｃ = 0 だと、 b＾2 - 4ac = 0 が条件だから、
式(4)より K＾2 - 4*(5/4)*（K＾2-20） = 0 → -4*K^2 + 100 = 0
よって K^2 = 25 → K =+5、-5 となります。
よって Y = 1/2X +5 と、 Y = 1/2 -5 の二つの直線が答え。
ある意味、関数・方程式とグラフの総まとめ的な問題だと思います。
多分、教科書の問題は意図するところあって載っているものが多そうなので
これによって、関数と図形の理解を深めてほしいということなんでしょう。
ひらめかないと解けないような単なる難問ではなく、いい問題だと思います。
by でか (2006-03-23 03:28)
ナ～ル、判別式ですか！考えませんでした。
というのも、本文にあるとおり（赤く表示しました）円周上の点（ｐ、ｑ）での接線の方程式を習った後なので、どうしてもそれを使おうとしたので難しくなってしまいました。因みに私はその方法で連立をだして解きました。（でも、計算を、まちがえていましたけど・・・）
by 降龍十八章 (2006-03-23 11:33)